软件

Matlab（The Mathworks Inc）版本12或更高版本与优化工具箱（也可以适应Scilab： http： //www.scilab.org/index.php/en ）

程序

该协议描述如何使用专用的数学模型来分析肿瘤生长动力学。具体地，其涉及用于从肿瘤生长的纵向测量确定模型的系数的方法。在所提供的数据示例中，通过使用测径器每隔一天确定皮下植入的肿瘤的最大（em）和最小（em）w直径（Benzekry et al。，2014）了解更多详情。然后使用公式V = w ² Lπ/6 来计算肿瘤体积。研究人员可以使用该方案以便比较两组（或更多）肿瘤动力学数据并且识别数学模型的系数中的哪一个在组之间显着不同（或不同）。需要纵向测量生长数据作为肿瘤体积的函数的肿瘤生长的二维常微分方程模型，和其携带能力，K em（形式上，肿瘤体积的最大肿瘤体积的主机环境支持可以维持），被使用（ t 表示时间）：

与 t 的肿瘤体积 > 0 = t a =肿瘤细胞增殖，能力刺激，以及 d =携带能力抑制。模型的数值解决方案适合于在几个时间点的肿瘤体积的实验测量，并且参数集合（a，b，d，d，d，）产生模型的最佳拟合。换句话说，（ a ， b ， d 的值被确定为最小化模型模拟和数据之间的距离（从而使数据在由模型生成的假设下的可能性最大化）。数量 V ₀固定为第一个观测数据点和 K _{/em> 固定为 2 。例如，对于数据示例的组1的第一动物，参数的结果值为： 3 ， K ₀ = 1672 mm ³ = 0.224天^-1， b = 0.710天^-1和 d = 0.0018mm ² day ^-1。
此协议由几个Matlab脚本和函数组成，可在以下地址免费下载： https://github.com/benzekry/fit_tumor_growth。在下面，我们详细说明每个应该顺序启动的步骤（通过在Matlab命令窗口中键入脚本名称），以执行完整的任务。相关的脚本用粗体字表示。我们对由两个肿瘤生长曲线组组成的说明性数据集示例执行这些，每个n = 20只小鼠。}

将数据从Excel（xlsx）文件导入 Matlab。 importData.m 。
手动探索参数空间以确定近似拟合数据的初始参数猜测。 play_model.m 。
（可选）确定参数的边界。如果参数空间不限于此模型，可能面临识别问题（几个参数集产生几乎相等的解）。在我们的例子中，我们选择了边界，使得每个参数围绕初始猜测跨越两个数量级。这在fitGlobal.m中指定（在函数 lsqcurvefit 内）。
确定要采用的误差方差模型（数据的不确定性）。选项包括比例（共同）或常数（未设定肿瘤生长测量）。注意，前者等价于对数变换模型的对数变换数据的拟合（即，即平方残差最小化的和）。对于肿瘤生长的卡尺导出的测量，可以采用稍微更复杂的误差模型（Ledzewicz和Schattler，2008）。它涉及功率α 1的数据以及最小阈值，并导致加权最小二乘法。在我们的示例中，我们使用了一个比例误差模型（在 fitGlobal.m 中的 lsqcurvefit 中指定）。
使用Matlab的内置最小化函数将模型拟合到数据。选项incude：lsqcurvefit，fmincon和fminsearch。个人经验表明fminsearch逃避局部最小值的更好的能力，虽然对于该函数不能规定参数值的约束约束。这可以通过对边界外的参数值的模型进行惩罚来规避。或者，也可以考虑随机算法（例如马尔可夫链蒙特卡罗）或多启动优化。我们建议分别拟合每个动物生长曲线，特别是当动物间变异性高时，而不是拟合平均或中间生长曲线。启动拟合和导出单个地块的脚本是 launch_fit.m 。单个图形导出到具有用户定义名称（本示例中为"Group1"和"Group2"）的文件夹中。
检查拟合优度。这包括：
1. 目视检查模拟个体生长曲线与数据（图1）。
2. （加权）残差的分布（所有个体合并一起）。它应该是高斯的，一个可以评估的假设使用Kolmogorov-Smirnov检验（如可以使用Matlab进行的）函数 kstest.m ）（Massey，1951）。残差的两个图是启动launch_fit.m时输出。
3. 计算由 2 " height ="50" width ="127"/>，其中 y _{i i sub> ）是此模型的解决方案，是 y _i的平均值。 launch_fit.m 会在屏幕上打印 R ²的值。这个数字是适合度的通常度量量化了在比较解释数据时模型有多好只有平均值（这将给予 = 0 ）。更接近的^R2是一个，配合越好。}
图1.通过模型对来自两组之一的每只小鼠的肿瘤生长数据的个体拟合。蓝色曲线是体积（ V ）曲线，曲线描述了承载能力（K em）的动力学。通过优化系数a ， b 和 d 进行拟合。将初始体积V 0设置为所测量的第一体积。初始承载力设定为该数量的两倍。 x轴=以天计的时间，y轴=肿瘤大小（以mm为单位）。
调查模型参数的统计差异（此处 a ， b ， d 和 K ₀）。文件manips_postFitAnalysis.m输出两个东西：
1. 参数值的箱线图，包括统计显着性（t检验）（图2）。统计力量取决于小鼠的数量采用。对于n = 20只动物，在此进行的分析能够检测参数a之间的0.205天^-1的显着差异两组（组1中为0.295±0.0758，组中为0.09±0.0132） 2，平均值±标准误差，参见图2），即，69.4％的显着性 ?α的水平<0.05>。为了检测0.2天^-1与a的相似差异成功概率（功率）为95％（即，假的概率）阳性5％），只有10只动物足够（和必要）。
图2.两组的模型（a，b和d）的三个参数的分布的箱线图。初始条件 V _/em>和承载能力 K ₀如图1所示。x轴=组1和组2。 y轴=
， b 和 d 的参数值。 * =α< 0.05（学生t检验）。
1. 模拟生长曲线：所有动物或平均其他组（图3）。
图3.模拟生长曲线。左图：所有单个模拟对应于每个动物特异性拟合的参数集。右图：平均生长曲线（平均值±标准误差）。 x轴=以天计的时间，y轴=以mm 3为单位的肿瘤体积。蓝色曲线=组1.红色曲线=组2.

致谢

该项目得到国家航空航天局NSCOR授予NNJ06HA28G和NNX11AK26G的部分支持，以及来自国家癌症研究所的授予U54CA149233，均授予L. Hlatky。这项研究还得到了法国国家资助的LABEX TRAIL，ANR-10-LABX-0057框架内的支持，由法国国家研究机构（ANR）在"未来投资"计划框架下管理IdEx（ANR 10-IDEX-03-02）。

参考文献

Beheshti，A.，Benzekry，S.，McDonald，J.T.，Ma，L.，Peluso，M.，Hahnfeldt，P.and Hlatky，宿主年龄是影响癌症进展的基因表达的系统调节因子癌症Res 75（6）：1134-1143。

Benzekry，S.，Lamont，C.，Beheshti，A.，Tracz，A.，Ebos，J.M.，Hlatky，L。和Hahnfeldt，P.（2014）。用于描述和预测实验性肿瘤生长的经典数学模型 PLoS计算Biol 10（8）：e1003800。

Hahnfeldt，P.，Panigrahy，D.，Folkman，J。和Hlatky，L。（1999）。在血管生成信号传导下的肿瘤发展：肿瘤生长，治疗反应和血管后休眠的动力学理论。/a> Cancer Res 59（19）：4770-4775

Ledzewicz，U。和Schattler，H。（2008）。针对肿瘤抗血管生成的一类数学模型的最优和次优方案。 em> J Theor Biol 252（2）：295-312。

Massey，F.J.，Jr.（1951）。 Kolmogorov-Smirnov测试的适合度。 J Am Statist Assoc 46（253）：68-78。